Resumen del llibro

Transformaciones geométricas

 

un paquete gráfico permite al usuario especificar que parte de una imagen definida se debe visualizar y dónde esta parte se debe colocar en el dispositivo de visualización. Cualquier sistema de coordenadas que sea conveniente, referido al sistema de referencia de coordenadas del mundo, se puede usar para definir la imagen. En el caso de las imágenes bidimensionales, una vista se selecciona especificando una región del plano xy que contiene la imagen total o cualquier parte de ella. Un usuario puede seleccionar una única zona para visualización, o varias zonas para visualización simultánea o para una secuencia animada panorámica a través de una escena. Las transformaciones de visualización bidimensional desde las coordenadas universales a las coordenadas del dispositivo implican operaciones de traslación, rotación y cambio de escala,así como procedimientos de borrado de aquellas partes de la imagen que se encuentran fuera de los límites de una zona seleccionada de la escena.

 

Las transformaciones geométricas básicas son la traslación, la rotación y la escalación. La traslación mueve un objeto con una trayectoria en línea recta de una posición a otra. La rotación mueve un objeto de una posición a otra a lo largo de una trayectoria circular sobre un eje de rotación específico.

Para aplicaciones bidimensionales, la trayectoria de rotación se encuentra en el plano xy sobre un eje que es paralelo al eje z. Las transformaciones de cambio de escala cambian las dimensiones de un objeto con respecto a una posición fija. Podemos expresar las transformaciones bidimensionales como operadores de matrices de 3 por 3 y las transformaciones tridimensionales como operadores de matrices de 4 por 4, de tal forma que esas secuencias de transformaciones pueden concatenarse dentro de una matriz compuesta.

En general, podemos representar tanto transformaciones bidimensionales como tridimensionales con matrices de 4 por 4. Representar operaciones de transformaciones geométricas con matrices de formulación eficiente, en tanto en cuanto nos permite reducir los cálculos aplicando una matriz compuesta a una descripción de un objeto para obtener su posición transformada.

Para encontrar la matriz de la posición transformada expresamos posiciones de coordenadas como matrices de columna. Elegimos la representación de matriz columna para puntos de coordenadas porque ese es el convenio matemático estándar y, muchos paquetes gráficos siguen dicha convención.

Nos referimos a una matriz de tres o cuatro elementos (vector) como una representación de coordenadas homogéneas. Para transformaciones geométricas, al coeficiente homogéneo se le asigna el valor 1. Las transformaciones compuestas se forman como multiplicación de matrices de raslación, rotación, cambio de escala y otras transformaciones. Podemos usar combinaciones de traslación y rotación para aplicaciones de animación y podemos usar combinaciones de rotación y escalación para cambiar el tamaño de los objetos en cualquier dirección especificada.

En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa. Obtenemos diferentes resultados, por ejemplo, si cambiamos el orden de la secuenca traslación-rotación. Las transformaciones entre sistemas de coordenadas cartesianos se lleva a cabo con una secuencia de transformaciones traslación.rotación que hacen que los dos sistemas coincidan. Especificamos el origen de coordenadas y vectores de eje para un marco de referencia respecto al marco de referencia original.

En un sistema bidimensional, un vector define completamente las direcciones del eje de coordenadas; pero en un sistema tridimensional, hay que especificar dos de las tres direcciones de los ejes. Las transformaciones geométricas son transformaciones afines. Esto es, pueden expresarse como una función lineal de posiciones de coordenadas. Traslación, rotación y escalación son transformaciones afines. Transforman líneas paralelas en líneas paralelas y posiciones de coordenadas finitas en posiciones finitas.